找规律大有讲究

找出某一列数的排列规律的常用方法是，观察数列中相邻数的差或商，通过差或商的规律推导数的排列规律。有些数列中相邻两数的差的规律非常明显。如果我们仅仅满足于轻而易举就获得的规律，而不作深入细致的思考，有时这种规律反而会变成解题的障碍。

例 用100条直线，能将一个圆面最多分成几块？

解决这样一个问题，要通过画图直接去找答案，确实很难办到。人们通常会采取“化难为易”的解题策略，先从最简单的情况入手，通过尝试，摸索规律，然后依据规律推出答案。

在一个圆面上画一条直线，最多可以把这个圆面分成两块（如图1）。

画两条直线，最多可以把这个圆面分成4块（如图2）。

画三条直线，最多可以把这个圆面分成7块（如图3）。

画四条直线，最多可以把这个圆面分成11块（如图4）。

如果把上面几个答案排列起来，就可以列成下表：

仔细观察表格中的数，我们可以发现一个十分奇妙的规律：在分成的块数中，相邻两数的差正好是按顺序排列的自然数，即

按照这个规律，我们可以很容易地算出以下条数的直线最多把圆面分成的块数。即

5条直线最多把圆面分成（11+5）=16（块），

6条直线最多把圆面分成（16+6）=22（块），

7条直线最多把圆面分成（22+7）=29（块），

8条直线最多把圆面分成（29+8）=37（块），

……

有些同学认准这个规律一直算下去，企图求出最终答案，但由于数目太大，因而算得精疲力竭，无果而终。

其实，当同学们循着一种思路往下想，越想越复杂的时候，不妨停一停，冷静思考一下。你可以反问自己：这是不是解决问题的唯一办法？除了这一规律还有没有其他规律？

事实上，这道题我们完全可以换一个角度去思考：要将圆面分成最多的部分，每条新画的直线必须穿过尽可能多的其它部分。

圆面本身是一个部分。

第一条直线只能穿过一个部分（圆面本身），画第一条直线时圆面加一个部分，圆面最多分成（1+1）=2（块）；

第二条直线只能穿过两个部分，画第二条直线时圆面加两个部分，圆面最多分成（1+1+2）=4（块）；

第三条直线只能穿过三个部分，画第三条直线时圆面加三个部分，圆面最多分（1+1+2+3）=7（块）；

第四条直线能穿过四个部分，画第四条直线时圆面力四个部分，圆面最多分（1+1+2+3+4）=11（块）；

依次类推可得，n条直线最多能将圆面分成（1+（1+2+3+4+…+n））

按照这个规律，求100条直线能将圆面最多分成多少部分就相当简单了。

从这里我们可以看出，有些数列，仅仅找出相邻两数的差的规律还不能算找到了最普遍适用的规律，只有找到了每一个数与序数的关系才可以说找到了最本质的规律。