悖论和集合论

   “悖论”（paradox）一词常见诸报端，其字面意思为“荒谬的理论或自相矛盾的话”。从逻辑上看，悖论性的语句具有这样的特征：如果假定这个语句为真，那么会推出这个语句为假；反之，如果假定这个语句为假，又会推出这个语句为真。说它对也不是，不对也不是，真是左右为难。

语义学悖论举例

悖论古已有之。一般认为，最早的悖论是古希腊的“说谎者悖论”。《新约全书·提多书》是这样记述的：

克里特人中的一个本地先知说：“克里特人总是撒谎，乃是恶兽，又馋又懒。”这个见证是真的。

这个克里特岛的“先知”是伊壁孟尼德（Epimenides）。后来欧布里德（Eubulides）将他的话改进为：

我正在说谎。

这句话是真的，还是假的？ 如果是句真话，由这句话的内容可知：说话者正在撒谎，既然是撒谎，那么说的是假话；反之，如果这句话是假的，说假话就是说谎，这句话的内容正是“我正在说谎”，因此这句话又是真的。

后来又发现了好几种“说谎者悖论”的变种，例如所谓“说谎者循环”：

   A说：“下面是句谎话。”

   B说：“上面是句真话。”

   “说谎者悖论”和“说谎者循环”是与自然语言的表达方式密切相关的悖论，涉及真假、定义、名称、意义等语义方面的概念，这类悖论被称为“语义学悖论”。语义学悖论的实例很多，“格列林（K.Grelling）-纳尔逊（L.Nelson）悖论”就饶有趣味，它与形容词的应用有关：

将形容词分为两类，一类称为“自谓的”，即可对于它们自身成立、对自己为真的。例如，形容词“Polysyllabic（多音节的）”本身是多音节的，“English（英文的）”本身是英文的，它们都是自谓的。另一类称为“它谓的”，即对于它们自身不成立、对自己不真的。例如，形容词“Monosyllabic（单音节的）”是它谓的，因为这个词不是一个单音节词；“英文的”也是它谓的，因为这个词是中文的而不是英文的。问题来了：形容词“它谓的”是不是它谓的？

得到的结果是：如果“它谓的”是它谓的，那么会推出“它谓的”不是它谓的，反之亦然。导致了自相矛盾。

集合论悖论与公理化

另一类悖论涉及数学中的集合论，被称为“数学悖论”或“集合论悖论”。集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观——“实无限”的基础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。例如，在集合论中用N={n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念。所谓“潜无限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…就是如此。

集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。然而，在康托尔创立集合论不久，他自己就发现了问题，这就是1899年的“康托尔悖论”，亦称“最大基数悖论”。与此同时，还发现了其他集合论悖论，最著名的是1901年的“罗素悖论”：

把集合分成两类，凡是不以自身作为元素的集合称为正常集，（例如，自然数集N本身不是一个自然数，因此N是正常集。）凡是以自身作为元素的集合称为异常集。（例如，所有的非生物的集合F并非生物，因此F是异常集。）每个集合或者为正常集或者为异常集。设V为全体正常集所组成的集合，即V={x：x?埸x}，那么V是不是正常集？

如果V是正常集，由正常集的定义知V?埸V，又因V是全体正常集的集合，所以正常集V∈V，但这说明V不是正常集，是异常集；反之，如果V不是正常集，是异常集，那么由异常集的定义知V∈V，这说明V是全体正常集组成的集合V的元素，因而V又应该是正常集。

罗素悖论揭示了一个严酷的事实：集合论是隐含着逻辑矛盾的，如果把数学建立在集合论的基础之上，将会使数学大厦从根基上产生深深的裂痕，这种裂痕甚至有可能使整座大厦倾覆。一石激起千层浪，一场关于数学基础问题的论战爆发了。

在这场论战中，最为激进的是以荷兰数学家布劳威尔为代表的直觉主义学派，他们对集合论采取了全盘否定的态度，并认为“实无限”的观念是集合论悖论产生的根源。与此相反，另一些数学家走上了改良的道路，他们试图亡羊补牢，对集合论加以适当的修正，以避免悖论。这方面的代表性成果是公理集合论，它已成为现代数学的一个重要分支。公理集合论采用公理化的方法来刻画集合和集合的运算，并对康托尔集合论中的“概括原则”作了修正。概括原则可表述为：满足性质P的所有对象可以组成一个集合S，即S={x：P（x）}，其中的P（x）意为“x具有性质P”。这就认定了任何性质可以决定一个集合，于是前述的F 和V名正言顺地成了集合，悖论也应运而生。

在公理集合论的ZF系统中，用如下的“分离原则”取代了概括原则：若C是一个集合，则C中满足性质P的那些元素构成一个集合S={x：x∈C且 P（x）}，即在C是集合的前提下，任何性质可以决定它的一个子集。公理化的结果是：只有正常集才能成为集合，异常集则不能，F和V都不是集合，罗素悖论和其他的集合论悖论得以避免。

就公理集合论能避免已有的集合论悖论，并在此基础上可以进一步发展数学而言，它是成功的。遗憾的是，人们并不能证明公理集合论系统的相容性，即不能证明系统中一定不会推出逻辑矛盾。此外，现代数学中的某些结果需要使用“选择公理”，但这又将导致某些违背人们直觉的怪论（例如“分球怪论”）。因此，公理集合论的处理方式，尤其是选择公理的使用，仍有进一步讨论的必要。

对悖论的一些深入探讨

罗素悖论的发现，也促进了对于悖论（包括语义学悖论）成因的深入思考。1905—1906年间，庞加莱在《数学与逻辑》一文中提出了悖论的根源在于“非直谓定义”的论断。所谓非直谓定义是指：借助于一个总体来定义一个概念（或对象），而这个概念（或对象）本身又属于这个总体。这种定义是循环的（罗素称为“恶性循环”），或者说是“自我涉及”的。例如，异常集“所有的非生物的集合F ”就是如此。因为，F是借助于“所有的非生物”这一总体来定义的，而F本身又是这一总体中的一员。考察语义学悖论，也会发现类似的“循环”或“自我涉及”的踪迹。例如，“说谎者循环”就是A，B两个人的话彼此循环，而格列林-纳尔逊悖论中的“自谓的”和“它谓的”定义，则涉及了形容词对于自身的真假。

   1931年，塔尔斯基（A.Tarski）在《形式化语言中的真概念》一文中，提出了“语言层次”的理论。虽然这一理论主要是针对形式语言的，但对于日常语言中的语义悖论研究也有重要意义。塔尔斯基认为，日常语言在语义上是封闭的：既包含了语言表达式，又包含了陈述这些语言表达式语义性质（例如“真”、“假”）的语句。这是语义悖论产生的根源。要建立实质上适当、形式上正确的关于“真句子”的定义，就必须对语言进行分层处理：被谈论的语句属于某一层次的语言（称为“对象语言”），而陈述该语句语义性质的语句则属于高一层次的语言（称为“元语言”）。“说谎者悖论”就是因为断言了自身的真假，混淆了语言的层次而造成的。

   1975年，当代著名逻辑学家克里普克（S.A.Kripke）在《真理论纲要》一文中提出了解决悖论的新方案。其中的一个核心概念是“有根性”：要判断一个含有真值谓词（“真”或“假”）的语句，必须寻找这个语句的“根”——相应的不含真值谓词的语句。例如，要判断“‘净水是无色透明的’是真的”这句话的真假，就要看“净水是无色透明的”这句话对不对，后一句话不包含真值谓词，并且它的对错是可以判断的，因此，前一句话是有根的。只有有根的语句才可以判断其真假，无根的语句则不行。“说谎者悖论”和“说谎者循环”都是无根的，这是悖论的基本特征。

新近的悖论研究受到了“情景语义学”的影响，语言逻辑学家注意到：许多语义悖论实际上不仅仅涉及语义，也与说话时的语境（包括语言使用者）等语用因素密切相关。以“说谎者悖论”为例，当某人说“我正在说谎”时，这意味着他在某种语境中表达这句话为真的断言。但是，“‘我正在说谎’是假的”这一语句，却不能在同样的语境中陈述，陈述它的是另一种语境。因此，悖论的根源不在于“自我涉及”，而是因为不同的语境。只要分清每一句话的语境，许多所谓的“悖论”就不再是真正的悖论了。