扑克牌中的数学游戏

有一种叫“24点”的游戏曾经风靡美国、日本等许多国家，深受青少年朋友的喜爱。这种游戏将两张王牌去掉，把A、J、Q、K分别看作1点，11点、12点、13点，或者将它们均看1点，其余牌面是几点，就是几点。

玩的规则不尽相同，其中有一种方法是：

（1）四个人每人抓到13张牌，每人每次从手中任意抽取一张牌。

（2）参加游戏者对这四张牌所代表的数值进行＋、－、×、÷、（）运算，使结果为24。

（3）谁先列出，谁就得1分，牌入底；若四人均无法列出，则无人得分，牌也入底。

（4）再次每人任意抽取一张牌，再次按（2）（3）规则进行。

（5）重复（2）、（3）、（4），直至每人手中13张牌全部用完为一局，得分多者为胜。

例如，抽出的四张牌为3、4、7、11，可以这样计算：

（7－4）×（11－3）＝3×8＝24，或（7＋11）÷3×4＝18÷3×4＝6×4＝24

这是一种非常有趣的游戏，下面我们一起来试一试：

例1 抽出下面四组牌：（A，J，Q，K分别为1点，11点，12点，13点）

（1）2，3，4，5 （2）3，4，5，10

（3）K，7，9，5 （4）J，6，Q，5

你能算出24点吗？

分别：要想比赛获胜，必须有一些技巧。那就是要非常清楚24可以由怎样的两个数求得，如2×12＝24，4×6＝24，3×8＝24，18＋6＝24，30－6＝24……这样就可以把问题转化成怎样使用4个数，凑出两个数的问题，其中有一点值得大家注意，就是四个数的顺序可以依据需要任意安排。

解：（1）依据2×12＝24，可得2×（3＋4＋5）＝24，

（2）依据3×8＝12，可得3×（10÷5×4）＝24，

（3）依据4×6＝24，可得（13－7）×（9－5）＝24，

（4）依据18＋6＝24，可得（11－5）＋（6＋12）＝24

说明：上面各题的解法并不一定是唯一的，如依据4×6＝24，也可得第（2）组为4×（10×3÷5）＝24，可是，就因为这样，才非常激烈、刺激。

例2 如果恰巧四个人抽出的扑克牌是“1～9”中的同一数字的牌，请你帮忙想一想哪种情况可以算出“24”？怎样算？

分析：四人抽出同一数字的牌有9种情况，4个1，4个3，4个4……4个8，4个9，现在的问题转化为如何使四个相同的数字（1~9中的一个）填加运算符号，得“24”的问题。由于4个数字相同，用乘法关系最后求得“24”就不太容易，应考虑＋、－关系，27－3＝24，25－1＝24，20＋4＝24，12＋12＝24……经过尝试，我们发现，4个1，4个2，由于数太小，无法算出“24”，而4个7，4个8，4个9由于太大，也无法算出。其余可以实现。

解：依据27－3＝24 ，可得3×3×3－3＝24，

依据20＋4＝24 ，可得4×4＋4＋4＝24，

依据25－1＝24 ，可得5×5－5÷5＝24，

依据12＋12＝24 ，可得（6＋6）＋（6＋6）＝24，

说明：有些不能算出24，可能是由于我们知识水平的限制，而并非真的不能，如请同学们想一想4个10，4个11，4个12，4个13你能求解吗？

由上面的例子，我们可以很自然地想到这种游戏可以发展成一类专门的数学的问题，下面我们就来研究。

例3 填上适当的运算符号，使算式成立

（1）4 4 4 4＝5

（2）4 4 4 4＝6

（3）4 4 4 4＝7

（4）4 4 4 4＝8

（5）4 4 4 4＝9

（6）4 4 4 4＝10

分析：（1）4 4 4 4＝5，最后一个4前面是三个4，如可凑出1，1＋4＝5，如可凑出20，20÷4＝5，4×4 ＋4＝20，因此可求解。

（2）4 4 4 4＝6，最后一个4前面是三个4，如可凑出2，2＋4＝6；即（4＋4）÷4＝2，因此可求解。

（3）4 4 4 4＝7，前面两个4＋4＝8，后面两个4得1即可求解，4÷4＝1刚刚好。

（4）和（6）可利用（3）的思路稍加变化就可以求解。

（5）4 4 4 4＝10，最后一个4，前面如是6，6＋4＝10可求解，但不易做到。如前面是40，40÷4＝10也可以求解，44－4＝40，数字连用在这类题目中是常用的一种技巧。（题目中没有限制，当然是可以这样做的）。

解：

（1）（4×4＋4）÷ 4＝5

（2）（4＋4）÷4＋4＝6

（3）（4＋4）－4÷4＝7

（4）（4＋4）×4÷4＝8

（5）（4＋4）+4÷4＝9

（6）（44－4）÷4＝10

说明：（1），（2），（6）中的解题思路是一种倒推的方法，这是一种常用的，行之有效的方法同学们加以掌握。（4），（5）中解题思路是依据数字的特点，这种方法，依赖于良好的数感，需要大家经过一段时间的训练才能获得。

例4 不用（），且运算符号不超过三次，添在适当位置，使下面的算式成立。

9 9 9 9 9 9 9 9 9=1000

分析：不使用（），运算顺序只能从左往右，先×、÷后＋、－；运算符号不超过三次，就会得到一些多位数。首先选一个多位数尽可能接近1000，可选999，1000－999＝1，后面6个 9要得到“1”，就很简单了999÷999，问题可求解；还可以用另一种方法接近1000，9999÷9＝1111，1111－1000＝111，后面9999想办法等于111，999÷9＝111，问题也可解出。

解：999＋999÷999＝1000

9999÷9－999÷9＝1000

说明：先靠近所求数，再进行适当调整，这是一种非常行之有效的方法，在数字比较多时常常用到。当然此题还有其它方法，同学们

可以用上面的思路再试一试。

例5 填入适当运算符号，使下式成立。

9 8 7 6 5 4 3 2 1＝1000

分析：此题中9~1九个数字各不相同，位置固定，初看与前面的例题有很大不同，但是经仔细读题，认真分析，我们可以发现，做此题时，＋、－、×、÷（）均可使用，运算符号用多少次没有限制，数字可以连用，也可以分开，条件很宽松。由于1000数比较大，我们也采用例4中靠近结果，再凑较小数的方法解决。可以用987＋6＝993，再用5 4 3 2 1凑成7即可，这个方法就很多了。还可以取前边987和后边的21相加得1008，中间的6 5 4 3 凑成8就行了。

解：987＋6＋5－4＋3×2×1＝1000

987＋6＋5＋4－3+2－1＝1000

987＋6＋（5－4）×（3×2＋1）＝1000

987＋6＋5＋（4－3）×2×1＝1000

987－（6－5＋4＋3）＋21＝1000

说明：此题还有许多解决，但不论哪种方法，都遵循先靠近结果，再凑较少数的原则，大家可以再想想，你还能想到什么方法？

例6 在下列算式中合适的地方，填上括号，使算式成立。

（1）4＋5×6＋8÷4－2＝30

（2）4＋5×6＋8÷4－2＝39

（3）4＋5×6＋8÷4－2＝21

（4）4＋5×6＋8÷4－2＝140

分析：（1）从最后一步逆推，减2前面的式子得32，还从后面入手，这就需要4＋5×6＋8，填上适当的括号得128，尝试发现括号的填法有两种（4＋5）×6＋8，4＋5×（6＋8），分别得128，74，因此括号的填法为[（4＋5）×6＋8] ÷4－2＝30

（2）从最后一步逆推，减号前面的式子要得41，还从后面入手要求4＋5×6＋8＝41×4这是无法实现的。从前面入手考虑，就应设法使5×6＋8÷4－2＝35，还从前面想这就需要6＋8÷4－2＝7，可从这样实现（6＋8）÷（4－2）。因此括号的填法为4＋5×（6＋8）÷（4－2）＝39

（3）从后面减2前面的式子得23才能有解，可4＋5×6＋8÷4无论如何填加括号，都不可能现实。把4－2放在一个括号里等于2，i除号前面的式子就要得42，通过观察容易发现，4＋5×6＋8按顺序计算就可得42，所以此题括号的填法是（4＋5×6＋8）÷（4－2）＝21

（4）140比较大，应充分发挥“×”的作用，使“×”左右两侧的因数尽可能大，即（4×5）×（6＋8）＝280，再缩小2倍，就是所求结果，正好“÷”后面4－2＝2，所以此题括号的填法是（4×5）×（6＋8）÷（4－2）＝140

解：

（1）[（4＋5）×6＋8]÷4－2＝30

（2）4＋5×（6＋8）÷（4－2）＝39

（3）（4＋5×6＋8）÷（4－2）＝21

（4）（4×5）×（6＋8）÷（4－2）＝140

说明：填括号时既可以用“（）”，也可以根据需要用“[]”，从一端想起经过尝试，淘汰，最终可以找到解题方法。