2．体积计算

　　《九章算术》商功章收集的都是一些有关体积计算的问题．但是商功章并没有论述长方体或正方体的体积算法．看来《九章算术》是在长方体或正方体体积计算公式：V=abh的基础上来计算其他立体图形体积的．

　　《九章算术》商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠，因其功用不同因而名称各异，其实质都是正截面为等腰梯形的直棱柱，他们的体积计算方法：“术曰：并上、下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺”．这里上、下广指横截面的上、下底(a，b)高或深(h)，袤是指城垣……的长(l)．因此城、垣…的体积计算术公式

　

　　刘徽在注释中把对于平面图形的出入相补原理推广应用到空间图形，成为“损广补狭”以证明几何体体积公式．

　　刘徽还用棋验法来推导比较复杂的几何体体积计算公式．所谓棋验法，“棋”是指某些几何体模型即用几何体模型验证的方法，例如长方体本身就是“棋”[图1－32(1)]斜解一个长方体，得两个两底面为直角三角形的直三棱柱，我国古代称为“堑堵”[图1－32(2)]，所以堑堵的体积是长方体体积的二分之一．

　

　　再解开右后边的堑堵[图1－32(3)]．得一个底面为长方形而有一棱和底面垂直的四棱锥(古代称之为“阳马”)和一个底面为直角三角形而有一棱和底面垂直的三棱锥(古代称之为“鳖臑”(臑音闹)[图1－32(4)]这个阳马又可以对分为两个“鳖臑”[图1－32(5)]，如果原长方体为正方体的话，则极容易看出：由一个堑堵分解出来的三个鳖臑是等积的．刘徽可以证明在长方体的情况下，由一个堑堵分解出来的三个鳖臑仍然是等积的．于是阳马体积应是长方体体积的三分之一．

　

　　这样我们可以把正四棱锥(古代称为“方锥”)分解为四个阳马，因此方锥体积为

　

　　正四棱台(古代称为“方亭”)可分解为一个正四棱柱，四个堑堵和四个阳马，因此

　

　　《九章算术》商功章还有圆锥、圆台(古代称“圆亭”)的体积计算公式．甚至对三个侧面是等腰梯形，其他两面为勾股形的五面体(古代称“羡除”)[图1－33(1)]，上、下底为矩形的拟

　　柱体(古代称“刍童”)以及上底为一线段，下底为一矩形的拟柱体(古代称“刍甍”)(甍音梦)［图1－33(2)]等都可以计算其体积．