利用豆腐块巧解奥数题

锁金新村第一小学 六年级3班 葛艺潇 11岁 女

大家一定认为豆腐很普通，而豆腐对我的帮助可大了，它帮助我完成许多的奥数题。

记得在上学期，我们学到“正方体和长方体”那单元时，老师给我们留了个难题：一个长方体，长，宽，高已知，如果在高上等分切3道，在长上等分切3道，求分成的16个小长方体所有表面积之和。我一下子傻了眼，不知如何下手，突然，我发现家里炒菜的豆腐正好是一个长方体，就想利用豆腐做实验，结果发现，切割后的长方体表面积比原来多了12个面，因而非常轻松地得出了该题目的答案，从此爱上了这洁白的豆腐块。

前几天，我又遇到了这样一个难题：

用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的对角线（正方体八个顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑色的，其余的小正方体都是白色的。问：

⑴如果白色小正方体的数量占总数的96％，那么有多少个黑色小正方体？

⑵如果白色小正方体的数量是黑色小正方体的2倍，那么大正方体共用了多少个小正方体？

我又想起了我的奥数帮手——豆腐，连忙买了一块长方体形状的豆腐。我洗干净了刀，先把它切成了2个正方体形状的豆腐块。便又看了看题目，题目中：用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体。可它没有告诉我们大正方体的棱长上小正方体的个数，究竟是奇数，还是偶数，切割豆腐不知如何下手。我只好先从偶数下手，把一块正方体形状的豆腐切成了4×4×4个小正方体，将大正方体的四条对角线穿过的小正方体豆腐块用笔涂成黑色，发现每个黑色的小正方体豆腐块都只被一条对角线穿过。最后，将所谓的白色小正方体豆腐块拿去，剩下的黑色小正方体豆腐共有4×4=16块。其次，我又将另外一块豆腐，切割成了3×3×3个小正方体，同样将对角线穿过的小正方体豆腐块用笔涂成黑色，发现中心的小正方体被4条对角线同时穿过，把所谓的白色小正方体拿去后，剩下的黑色小正方体豆腐只有9块。这与上面一种情况根本不同，就在于中心的那个小正方体豆腐块被对角线穿过4次，经过分析归纳，得出如下结论：如果大正方体的棱长上小正方体的个数看作n，那么小正方体的总个数是n³。如果n是偶数，则大正方体的对角线穿过的小正方体数就是4n；如果n是奇数，则大正方体的对角线穿过的小正方体数就是4n-3。

于是，我便开始思考第一个问题，若n为偶数，方程便是：n³ ×（1-96％）=4n，n² =100,n=10.有黑色小正方体4n=40(个)。若n为奇数，方程便是：n³×(1-96％)=4n-3, n³=100n-75,比较上式等号两边知，n是5的倍数。n=5不是解；n≥10时左边永远大于右边，也不是解,说明此时无解。

我解开了第一个问题，信心十足，又开始解第二个问题。若n为偶数，方程便是：n³×=4n,n²=12.可无法求整数解，所以不成立，无解。若n为奇数，方程便是：n³×=4n-3, n³=12n-9,n(12-n²)=9,n=3,大正方体共用小正方体n³=27个。解完了题，心里别提有多开心了。

同学们，你们一定也为一些正方体和长方体方面的题目困扰着，不妨也学着我利用豆腐块做实验，使得抽象地数学问题变得更直观，这样，一切问题也就迎刃而解了。

指导老师：杨玲芳