主題：妙

妙！妙！妙！——真分数变单位分数。

研究动机：最近在上有关数字方阵及其方阵内数字的规律，让我想起小学上分数时，有些分数也有特定的规律。于是就在闲聊时，有个同学突发奇想的说：「不知道单位分数相加后所得到真分数有没有什么关连性？」所以我们决定研究这个主题。

贰﹑研究目的：观察真分数可以拆成单位分数之和的特性。

参﹑研究设备及器材：纸、笔、四颗人脑。

肆﹑研究过程及方法：

符号说明：

1. ：表示真分数，而且也是最简分数，其中的都是正整数。

2. ：表示正整数。

首先我们先试着将真分数拆成两个单位分数之和。我们发现以下三种较简单的型式

或

( 是大于2的正整数 )

或

( 是大于2的偶数 )

但是并非所有的真分数都是上述的形式，因此我们利用分数的『扩分』特性找到以下的一种方法：

由于『性质1』所要找的分母两因子，既要『积为分母』、又要『和为分子』实属不易，因此我们再次运用分数可『扩分』的特性，针对分子、分母探讨，发现可以将条件再放宽，因而找到了以下性质：

例如：对于真分数，由分母63的因子7 和9，知。

这是因为

例如：对于真分数，由分母75的因子3，知（75＋3）可以被13整除，所以；

然而，由于1是任何正整数的因子，因此当我们在运用『性质3』时，并非对任意的真分数，取其分母的因子『1』，就可以将真分数拆成两个单位分数之和，例如：。此时千万别忘了，尚须满足（1.6）式，分母与1的和必须能被分子整除。

虽然『性质3』有些限制，但是当我们再从『性质3』出发，发现当时，此时的真分数就变成单位分数，而『性质3』也变成

或

（其中可以整除）

即对于任意的单位分数，根据式，我们可以将一个单位分数分解成两个相异的单位分数之和；再根据式，就可以分解成三个相异的单位分数之和；因此，只要我们不断的重复运用式，就可以将一个单位分数分解成任意个相异单位分数之和。所以：

例如：

但是，对于有很多因子的分母来说，要找到符合（1.5）式或（1.6）式的因子，需要花费一番功夫努力，但又不见得找的到，有时后，可能是，真的无法分解成两个单位分数之和。因此，我们想要尝试寻找：能够判断真分数是否真的可以分解成两相异单位分数的性质。

在经过一连串的试验寻找、惊奇中，我们发现只要配合『数线』的概念，就可以了。现在作以下的说明：

假设真分数可以分解成两相异单位分数之和，

由于

所以，对数在线的A，B两点而言，点的位置，不外：

(1) A，B 在的两侧；如下图一。

或

(2) A，B 在的同侧；如下图二、图三

然而，

在图二中，，即，矛盾；

在图三中，，即，矛盾。

也就是A、B不可能在同侧；那么A、B就一定在的两侧。

因此，我们将它写成以下的性质：

如此一来，我们最多只需进行次的试验，其中的是的整数部分。

例如：对于真分数，由，知，因此我们最多只需5次的试验即可得到结果。在等式

中分别令，得到都不是正整数。这说明不可能拆成两个单位分数之和。

伍﹑研究结果：

在本文中，我们找到了将真分数拆成两个单位分数之和的方法，并且可以再进一步地将它拆成任意N个单位分数之和，也发现一个『必要条件』

陆﹑讨论：

两单位分数表示法的唯一性，尚须再研究。

我们有找到一个『必要条件』，想再寻找其它的『充分条件』。

对于分母（或分子）是质数的真分数，是否有特别的性质。