例举学生找最大公因数的方法

　　“找最大公因数”是《数学课程标准》下五年级数学学习内容之一，新教材不再沿用原来教材是用分解质因数（短除法）来求出最大公因数，而是通过引导学生利用已有的知识和经验用列举的方法找出两个数的最大公因数。从“求”最大公因数到“找”最大公因数的变化，促使学生学习活动也随着发生变化，呈现找最大公因数策略的多样化，下面我例举学生们“找最大公因数”的方法。

　　题目：找出每组数的最大公因数

　　6和9 10和6 20和30 13和5

　　生1：我说20和30的最大公因数。可以单单看20和30中的大数30，最大公因数不会超过30，所以先用比30小一些的因数15去除20，不行！再用比20小一些的因数10去除20，行！10就是它们的最大公因数。

　　生2：我也说20和30的最大公因数。我是单单看20和30中的小数20，因为最大公因数绝对不会超过20，所以先用比20小一些的因数11去除20，能整除！10就是它们的最大公因数。

　　[这两种方法不同的地方是“单单看的数”不同，一个学生是30，一个学生是20，通过比较肯定是20来得好，最大公因数不必要看两数中的大数，最大公因数不会超过两数中的小数，所以以两数中的小数为切入点为佳。但这两种方法也有相同的地方，相同的地方都是从一个数的因数从大到小用除的方法加于一一验证、确认。]

　　生3：我说13和5的最大公因数。这两个数“没有关系”，5的2倍是10，3倍是15，不会是13，所以它们没有关系。那么，13和5的最大公因数就是1。“没有关系”的两个数的最大公因数一定是1。

　　[这位学生所说两个数“没有关系”，就是两个数成互质关系，新教材上不再出现这个概念，当然没有互质数这个说法了，“没有关系的两个数”这种说法应运而生，好在他已经描述性解释了，其他同学不难理解他所表达的意思。]

　　生4：我说10和6的最大公因数。只要10－6＝4，10÷4不能整除，6÷4也不能整除，所以4不是他们的最大公因数；再6－4＝2，10÷2＝5，6÷2＝3，都能整除。因此，2就是10和6的最大公因数。

　　[这节是公因数的第二课时，也许这位学生自学了书本“你知道吗”上内容，所以有了他这样的理解。]

　　学生出现了不同的解决问题的策略和方法，教师这时的任务是要帮助学生们去理解并加于合理的优化。有书上这样写道：“对于世界的认识，在自然科学领域，尽管知识具有客观性，但在对客观世界的认识途径、解决策略上却是多元的，每一种理解、每一种策略都揭示了其内在本质的一个部分。因此，每种理解、策略都是有效的，然而，这种有效并不等于已经完全揭示出了解决问题的实质。”这就要求就是教师要加于有效、合理的引导，借助对象不断地引导学生去理解、优化，引导学生不断抛弃主观随意性，使知识的实质在人类无限的理解中得到深化和发展。