圆的面积

在半径为R的圆中，当内接正多边形的边数不断地成倍增加时，正多边形的面积就越来越接近于圆的面积。

如图，AB是圆O的内接正n边形的一边，OD垂直于AB（它的长度用r表示）。所以△AOB的面积等于12AB·r。正n边形的面积等于△AOB面积的n倍，因此，正n边形的面积＝(1/2)AB·r·n＝(1/2)（AB·n）·r。因为正n边形的周长p＝AB·n，所以正n边形的面积＝(1/2)p·r。

当正n边形的边数不断地成倍增加时；正n边形的面积n越来越接近于圆的面积；同时，正n边形的周长p也越来越接近于圆的周长2πR；r也越来越接近于圆的半径R。因此，圆的面积S=(1/2)pR=(1/2)×2πR×R=πR²。